HECTOR ANIBAL POLANCO PEREIRA

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FACTORIZACION


Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.


EXISTEN 10 CASOS DE FACTORIZACION


CASO 1. Factorización por factor común (caso monomio):

Se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C.

Ejemplos:

a) Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2ª .
El factor común (FC) en los dos términos es a por lo tanto se ubica por delante del paréntesis a( ). Dentro del paréntesis se ubica el resultado de:


, por lo tanto: a (a+2). Así: a 2 + 2a = a (a + 2)

b) Descomponer (o factorizar) 10b - 30ab. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se toma el mayor factor común. El factor común (FC) es 10b. Por lo tanto: 10b - 30ab 2 = 10b (1 - 3ab)


c) Descomponer: 18mxy 2 - 54m 2x 2y 2 + 36 my 2 = 18my 2(x - 3mx 2 + 2)


d) Factorizar 6x y 3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 - 3n 2x 4y 3 = 3x y 3(2 - 3nx + 4nx 2 - n 2x 3)




CASO 2. Factorización por factor común (caso polinomio):

a) Descomponer x (a + b ) + m (a + b )
Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que se pone (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea:


                                                         

y se tiene:
x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m )
b) Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1)
El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos:

                                                         

luego:
2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y )
c) Descomponer m (x + 2) + x + 2
Se puede escribir esta expresión así: m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1(x + 2) El factor común es (x + 2) con lo que: m (x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)

d) Descomponer a (x + 1) - x - 1 Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) , se tiene: a (x + 1) - x - 1 = a (x + 1) - (x + 1) = a (x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1)

e) Factorizar 2x (x + y + z ) - x - y – z. Con esto: 2x (x + y + z ) - x - y - z = 2x (x + y + z ) - (x + y + z ) = (x + y + z )(2x - 1)

f) Factorizar (x - a )( y + 2) + b ( y + 2). El factor común es ( y + 2), y dividiendo los dos términos de la expresión dada entre ( y + 2) tenemos:

                                                         


luego:

(x - a )( y + 2) + b ( y + 2) = ( y + 2)(x - a + b )
g) Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3). Al dividir entre el factor común (x - 1):

                                                         


por tanto:

(x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 2) - (x - 3) = (x - 1)(x + 2 - x + 3) = (x - 1)(5) = (x - 1)

h) Factorizar x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1.

x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1 = x (a - 1) + y (a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(x + y - 1)

CASO 3. Factorización por factor común (caso agrupación de términos):


a) Descomponer ax + bx + ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+):

ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by )

= x (a + b ) + y (a + b )

= (a + b )(x + y )

Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible, la expresión dada no se puede descomponer por este método. En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor común a y el 2o. y 4o. con el factor común b, y:

ax + bx + ay + by = (ax + ay ) + (bx + by )

= a(x + y ) + b (x + y )

= (x + y )(a + b )

Este resultado es idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.

b) Factorizar 3m 2 - 6mn + 4m - 8n . Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los dos últimos el factor común 4. Agrupando:

3m 2 - 6mn + 4m - 8n = (3m 2 - 6mn ) + (4m - 8n )

= 3m (m - 2n ) + 4(m - 2n )

= (m - 2n )(3m + 4)

c) Descomponer 2x 2 - 3x y - 4x + 6y .

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común 2, entonces los agrupamos pero introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo - (porque el signo del 3er. término es - ) para lo cual hay que cambiarles el signo, y tendremos:

2x 2 - 3x y - 4x + 6y = (2x 2 - 3x y ) - (4x - 6y ) =

x (2x - 3y ) - 2(2x - 3y ) =

(2x - 3y )(x - 2)

Otra alternativa es agrupar el 1o. y 3o. términos con factor común 2x , y el 2o. y 4o. con factor común 3y , con lo que tendremos:

2x 2 - 3x y - 4x + 6y = (2x 2 - 4x y ) - (3x y - 6y ) =

2x (x - 2) - 3y (x - 2) =

(x - 2)(2x - 3y )

d) Descomponer x + z 2 - 2ax - 2az 2

x + z 2 - 2ax - 2az 2 = (x + z 2) - (2ax + 2az 2) = (x + z 2) - 2a (x + 2az 2) = (x + z 2)(1 - 2a )

Al agrupar los términos 1o. y 3o., 2o. y 4o.:

x + z 2 - 2ax - 2az 2 = (x - 2ax ) + (z 2 - 2az 2) =

x (1 - 2a ) + z 2(1 - 2a ) =

(1 - 2a )(x + z 2)

e) Factorizar 3ax - 3x + 4y - 4ay.

3ax - 3x + 4y - 4ay = (3ax - 3x ) + (4y - 4ay ) =

3x (a - 1) + 4y (1 - a ) =

3x (a - 1) - 4y (a - 1) =

= (a - 1)(3x - 4y )

En la segunda línea del ejemplo anterior, los binomios (a - 1) y (1 - a ) tienen signos distintos; para hacerlos iguales los cambiamos al binomio (1 - a ) convirtiéndolo en (a - 1), pero para que el producto 4y (1 - a ) no varíe de signo le cambiamos el signo al otro factor 4y convirtiéndolo en - 4y . De este modo, como cambiamos los signos a un número par de factores, el signo del producto no varía.

En el ejemplo anterior, al agrupar los términos 1o. y 4o., 2o. y 3o.:

3ax - 3x + 4y - 4ay = (3ax - 4ay ) + (3x - 4y ) =

a (3x - 4y ) - (3x - 4y ) =

(3x - 4y )(a - 1)

f) Factorizar: ax - ay + az + x - y + z.

ax - ay + az + x - y + z = (ax - ay + az ) + (x - y + z ) =

a (x - y + z ) + (x - y + z ) =

(x - y + z ) + (a + 1)

CASO 4. . Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:

La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplos

a) Factorizar m 2 + 2m + 1



por lo tanto:

m 2 + 2m + 1 = (m + 1)(m + 1) = (m + 1)2

b) Descomponer 4x 2 + 25y 2 - 20x y. Al ordenar el trinomio:



así:
4x 2 - 20x y + 25y 2 = (2x - 5y )(2x - 5y ) = (2x - 5y )2

Es importante destacar que cualquiera de las dos raíces puede ponerse como minuendo, por lo que en el ejemplo anterior también se tiene:

4x 2 - 20x y + 25y 2 = (5y - 2x )(5y - 2x ) = (5y - 2x )2

porque al desarrollar este binomio resulta: (5y - 2x )2 = 25y 2 - 20x y + 4x 2 que es una expresión idéntica a 4x 2 - 20x y + 25y 2, ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.

c) Descomponer 1 - 16ax 2 + 64a 2x 4



por lo tanto:

1 - 16ax 2 + 64a 2x 4 = (1 - 8ax 2)2 = (8ax 2 - 1)2

d) Factorizar

Este trinomio es cuadrado perfecto, porque el doble producto de la raíz cuadrada de



por la raíz cuadrada de



reproduce el segundo término. Luego:



f) Descomponer a 2 + 2a (a - b) + (a - b)2

La regla para factorizar puede aplicarse a casos donde el primer o tercer término del trinomio o ambos son expresiones compuestas.

En este caso tenemos:

a 2 + 2a (a - b ) + (a - b )2 = [a + (a - b )]2 = (a + a - b )2 = (2a - b )2

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